Десятичные дроби. Конспект

Содержание статьи:

  1. Что такое десятичные дроби
  2. Сравнение десятичных дробей
  3. Сложение и вычитание десятичных дробей
  4. Умножение и деление десятичных дробей
  5. Округление чисел

1  Что такое десятичные дроби

Десятичные дроби — это особая запись дробных чисел. Выглядят они так:

Десятичные дроби. Конспект

Обыкновенные дроби, знаменатели которых равны 10,  100,  1000,  10000  и т.д., (то есть  единица с одним или несколькими нулями), можно записать в виде десятичных дробей,  без знаменателя. Десятичные дроби. КонспектКак правильно записать десятичную дробь? Сначала пишется целая часть дроби  или ноль, если дробь правильная, затем ставится запятая, а после запятой записывается числитель дроби, и здесь нужно быть очень внимательными. Дело в том, что количество знаков после запятой должно быть равно количеству нулей в знаменателе обыкновенной дроби. А в числителе может быть меньше цифр, чем надо. В этом случае мы приписываем к числителю нули, добавляя их не в конце числа, а сразу после запятой, то есть перед числителем:Десятичные дроби. Конспект

Как видите, ничего сложного. Читаются десятичные дроби так же, как они читались бы в виде обыкновенных дробей: три целых, две десятых, шесть целых  сорок четыре сотых, ноль целых двадцать три десятитысячных.

Чтобы правильно назвать дробь, считают количество знаков после запятой. Один знак — десятые, два знака — сотые, три знака — тысячные и т.д.

Теперь одно важное уточнение: нули в конце десятичной дроби не имеют никакого значения и отбрасываются. Мы можем приписать сколько угодно нулей, и при этом дробь не изменится:Десятичные дроби. Конспект

Запомните это свойство десятичных дробей, так как оно нам пригодится при сложении и вычитании столбиком, а также при сравнении дробей.

2 Сравнение десятичных дробей

При сравнении десятичных дробей больше та дробь, у которой целая часть больше. Десятичные дроби. Конспект

Если же у дробей целые части равны, поступают следующим образом:

  1. Десятичные дроби. КонспектСчитают количество знаков после запятой у обоих чисел, и если оно не одинаковое, то уравнивают их,  приписывая нули в конце одной из дробей.
  2. Переписывают полученные числа без запятых и сравнивают их. Эту операцию можно проводить мысленно, в уме:

 

 

3  Сложение и вычитание десятичных дробей

Десятичные дроби складывают столбиком так же, как обыкновенные числа, при этом их записывают так, чтобы запятая находилась строго под запятой. Далее следуют алгоритму:

  • Количество знаков после запятой уравнивают, приписывая нули на конце дроби.
  • Выполняют сложение или вычитание как обычно, не обращая внимания на запятую.
  • Ставят запятую под запятой в данных дробях.

Десятичные дроби. Конспект

Если вы складываете целое число и десятичную дробь, то просто прибавляете это число к целой части, которая находится перед запятой. Например:

5 + 2,43 = 7,43

74 + 0,004 = 74,004

Если нужно из целого числа вычесть десятичную дробь, то уравниваете количество знаков после запятой и вычитаете столбиком, как описано в начале этой статьи. Например, как выполнить вычитание   52 — 3,614 = ?

Десятичные дроби. Конспект

4  Умножение и деление десятичных дробей

Умножение десятичных дробей на натуральное число

Чтобы умножить десятичную дробь на целое число, надо умножить её на это число, не обращая внимание на запятую,  а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Например:

2 · 0,34 = 0,68

5 · 0,002 = 0,010 = 0,01   (нули на конце десятичной дроби отбрасываются)

Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000, 10 000 и т. д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

Например:

8,963 · 10 = 89,63

0,062 · 1000 = 0062 = 62  (нули перед числом не пишутся)

2,9 · 10000 = 2,9000 · 10000 = 29000

Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

  1. Выполнить умножение, не обращая внимания на запятые.
  2. Отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Десятичные дроби. Конспект

Деление десятичной дроби на натуральное число

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное  число, надо:

Разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую. При этом, как только кончится деление целой части, и мы должны будем сносить цифру после запятой, в частном ставим запятую. Десятичные дроби. Конспект

Если целая часть меньше делителя, ответ начинается с нуля целых.

Десятичные дроби. Конспект

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

Для того, чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, …, надо перенести запятую в этой дроби на столько знаков влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

При этом иногда приходится сначала написать перед целой частью нуль или несколько нулей.

Например:

374,5 : 100 = 3,745

5,021 : 1000 = 0005,021 : 1000 = 0,005021

0,1 : 100 = 000,1 : 100 = 0,001

Умножение десятичной дроби на 0,1;  0,01;  0,001 и т.д.

Умножить число на 0,1;  0,01;  0,001 и т.д. — это то же самое, что разделить его на 10, 100, 1000 и т.д. Для этого нужно перенести запятую в этой дроби на столько знаков влево, сколько нулей стоит перед единицей в множителе (нуль перед запятой тоже считаем).

Например:

54,3 · 0,1 = 54,3 : 10 = 5,43

0,1 · 0,01 = 0,1 : 100 = 000,1 : 100 = 0,001

Деление на десятичную дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо

  1. Избавиться от запятой в делителе. Для этого в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.
  2. После этого выполнить деление на натуральное число.

Пример 1:

Разделим 12,096 на 2,24. Перенесём в обоих числах запятую на две цифры вправо. Получим числа 1209,6 и 224.  Выполним деление столбиком.

Десятичные дроби. Конспект

12,096 : 2,24 = 1209,6 : 224 = 5,4

Пример 2:

Разделим 4,5 на 0,125. Перенесём и в делимом, и в делителе запятую на три цифры вправо. Так как у числа 4,5 только одна цифра после запятой, то припишем ему справа два нуля.  Получим числа 4500 и 125. Делим столбиком:Десятичные дроби. Конспект

Так как   4500 : 125 = 36,   то и   4,5 : 0,125 = 36.

Пример 3:

Разделим 25 на 0,05. Нам нужно перенести запятую в делимом и делителе на два знака вправо. Но число 25 целое, как быть с запятой?  Любое целое число можно записать с запятой, приписав после неё сколько угодно нулей.  25 = 25,00. Перенеся запятую на два знака, получим число 2500.

25 : 0,05 = 2500 : 5 = 500

Деление десятичной дроби 0,1;  0,01;  0,001 и т.д.

Разделить число на 0,1;  0,01;  0,001 и т.д. — это то же самое, что умножить его на 10, 100, 1000 и т.д. Для этого нужно перенести запятую в делимом на столько знаков вправо, сколько нулей стоит в делителе перед единицей (ноль перед запятой тоже считаем).

Если цифр не хватает, надо сначала приписать в конце дроби  несколько нулей.

Например:

54,87 : 0,1 = 548,7

34,56 : 0,0001 = 34,5600 : 0,0001 = 345600

24 : 0,001 = 24,000 : 0,001 = 24000

5  Округление чисел

Округление числа — это замена его близким по значению числом с нулями на конце. Число, полученное при округлении, называют приближённым значением данного числа (знак  ) . Округляют как натуральные числа, так и десятичные дроби.

Округление натуральных чисел

Натуральные числа округляют до  десятков,  сотен, тысяч и т.д. При этом пользуются следующим алгоритмом:

  • Находят в числе цифру разряда, до которого нужно округлить число (в примерах она выделена красным)
  • Смотрят, какая цифра стоит после неё. Если это цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то цифру разряда увеличивают на единицу, а все последующие цифры заменяют нулями. Если же после цифры разряда стоит 4, 3, 2, 1 или 0, то просто заменяют все последующие цифры нулями.

Пример 1:

Округлить число 32748 до сотен.  Цифра разряда сотен 7. После неё стоит 4. Значит 32748 ≈ 32700

Пример 2:

Округлить число 1268932 до тысяч.  Цифра разряда тысяч 8. После неё стоит 9. Значит, увеличиваем 8 на единицу: 

1268932 ≈ 1269000

Пример 3:

Как быть, если рядом стоят несколько девяток?

Округлить число 8269999 до десятков.  Цифра разряда десятков 9. После неё стоит 9. Значит, увеличиваем 9 на единицу (и соответственно последующие девятки тоже): 

8269999 ≈ 8270000

Округление десятичных дробей

Десятичные дроби округляют до целых, до десятых, до сотых, до тысячных и т. д. При этом пользуются тем же самым алгоритмом, но все последующие цифры не заменяют нулями, а отбрасывают, так как они стоят после запятой на конце числа.

Пример 1:

Округлить число 86,2759 до десятых.  Цифра разряда десятых 2. После неё стоит 7. Значит, увеличиваем 2 на единицу: 

86,2759 ≈ 86,3

Пример 2:

Округлить число 0,372148 до тысячных.  Цифра разряда тысячных 2. После неё стоит 1. 

0,372148 ≈ 0,372

Пример 3:

Округлить число 5,3721до целых.  Цифра разряда целых 5. После неё стоит 3. 

5,3721 ≈ 5

 

Если у вас не открываются игры или тренажёры, читайте здесь.